Найдите наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы 2002 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр и в виде суммы 2003 натуральных слагаемых с одинаковой суммой цифр.

   Решение

Найдутся ли натуральные числа x, y и z, удовлетворяющие условию  28x + 30y + 31z = 365?

   Решение

Тема:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, O_b — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и O_b лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO, BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO, ACO и ABO. Докажите, что O — центр вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Так как AOM = BAO + ABO = (A + B)/2 и OAM = OAC + CAM = A/2 + CBM = (A + B)/2, то MA = MO. Аналогично MC = MO.
Так как треугольник OAO_b прямоугольный и  AOM = MAO = , то  MAO_b = MO_bA = 90^o - , а значит, MA = MO_b. Аналогично MC = MO_b.
б) Пусть P — центр описанной окружности треугольника ACO. Тогда  COP = (180^o - CPO)/2 = 90^o - OAC. Поэтому  BOC = 90^o + OAC. Аналогично  BOC = 90^o + OAB, а значит,  OAB = OAC. Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов B и C.

Источники и прецеденты использования