Объем конуса равен 128 . Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 7 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Решение

Предположим, что лев бежал по ломаной A₁A₂...A_n. Распрямим траекторию движения льва следующим образом. Повернем относительно точки A₂ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₃ попала на луч A₁A₂. Затем повернем относительно точки A₃ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₄ попала на луч A₁A₂ и т. д. Центр O арены цирка переходит при этом последовательно в точки O₁ = O, O₂,..., O_{n - 1}; точки A₁,..., A_n переходят в точки A₁',..., A_n', лежащие на одной прямой (рис.).
Пусть   — угол поворота льва в точке A_i'. Тогда O_{i - 1}A_i'O_i = и  A_i'O_{i - 1} = A_i'O_i10, поэтому O_iO_{i - 1}10. Следовательно, 30 000 = A₁'A_n'A₁'O₁ + O₁O₂ +...+ O_{n - 2}O_{n - 1} + O_{n - 1}A_n'10 + 10( +...+ ) + 10, т. е. +...+ 2998.

Источники и прецеденты использования