Из набора гирь весом 1, 2, ..., 26 выделить шесть гирь так, чтобы среди них не было выбрать двух кучек равного веса.
Доказать, что нельзя выбрать семь гирь, обладающих тем же свойством.

   Решение

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

Решение

а) Площадь параллелограмма PMQN равна  BC ^. AD sin/4, где  — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из вершин B и C, равны  OB sin и  OC sin, поэтому  | S_ABD - S_ACD| = | OB - OC| ^. AD sin/2 = BC ^. AD sin/2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи AD и BC. Так как  PN || AO и  QN || CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому S_OPQ = S_PQN + S_PON + S_QON = + + = = .

Источники и прецеденты использования