Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49, а в третьей – 5. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

   Решение

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Решение

По методу Виета (см. задачу 61275), сделав замену  x = 2t,  получим уравнения  4t³ – 3x – ½ = 0  и     поэтому (по формулам из задачи 61275) корни первого уравнения
t₁ = cos ^π/₉,  t₂ = cos ^7π/₉,  t₃ = cos ^13π/₉,  а второго  t₁ = cos ^π/₁₈,  t₂ = cos ^13π/₁₈,  t₃ = cos ^25π/₁₈.

Источники и прецеденты использования