В средней клетке полоски 1×2005 стоит фишка. Два игрока по очереди сдвигают ее: сначала первый игрок передвигает фишку на одну клетку в любую сторону, затем второй передвигает ее на 2 клетки, 1-й – на 4 клетки, 2-й – на 8 и т.д. (k-й сдвиг происходит на 2^k-1 клеток). Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто может выиграть независимо от игры соперника?

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Две хоккейные команды одинаковой силы договорились, что будут играть до тех пор, пока суммарный счёт не достигнет 10.
Найдите математическое ожидание числа моментов, когда наступала ничья.

Решение

  Если 2n – максимальный суммарный счёт, то игру можно рассматривать как случайное блуждание длины 2n: на каждом шаге разрыв в счете либо увеличивается на единицу, либо уменьшается на единицу.
  Пусть I_2k – индикатор ничьей на 2k-м шаге:  
  Случайная величина X "число моментов, когда наступала ничья" равна сумме всех индикаторов. Начало игры не будем считать "наступлением ничьей". Следовательно,  X = I₂ + I₄ + ... + I_2n,  а  
  При  n = 5  получаем  EX = ²/₄ + ⁶/₁₆ + ²⁰/₆₄ + ⁷⁰/₂₅₆ + ²⁵²/₂₀₄₈ ≈ 1,707.

Ответ

≈ 1,707.

Источники и прецеденты использования