Информация о задаче

Задача 56932

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$ .

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle$ CAM = $\angle$ ABN и $\angle$ CBM = $\angle$ BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Решение

а) По теореме Чевы ${\frac{AC_1}{C_1B}}$ = ${\frac{CA_1}{A_1B}}$ ^. ${\frac{AB_1}{B_1C}}$ , а по теореме синусов

CA₁	= $\displaystyle {\frac{CA\sin CAA_1}{\sin AA_1B}}$ ,	A₁B	= $\displaystyle {\frac{AB\sin BAA_1}{\sin AA_1B}}$ ,
AB₁	= $\displaystyle {\frac{AB\sin ABB_1}{\sin AB_1B}}$ ,	B₁C	= $\displaystyle {\frac{BC\sin CBB_1}{\sin AB_1B}}$ .

Подставляя эти четыре равенства в предыдущее равенство и учитывая, что AC = BC, получаем требуемое.
б) Обозначим точки пересечения прямых CM и CN с основанием AB через M₁ и N₁. Нужно доказать, что M₁ = N₁. Из а) следует, что AM₁ : M₁B = AN₁ : N₁B, т. е. M₁ = N₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	8
Название	Теорема Чевы
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.083