Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

   Решение

Существует ли арифметическая прогрессия из пяти различных натуральных чисел, произведение которых есть точная 2008-я степень натурального числа?

   Решение

Темы:    [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Системы точек ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

На плоскости синим и красным цветом окрашено несколько точек так, что никакие три точки одного цвета не лежат на одной прямой (точек каждого цвета не меньше трёх). Докажите, что какие-то три точки одного цвета образуют треугольник, на трёх сторонах которого лежит не более двух точек другого цвета.

Подсказка

Рассмотрите треугольник наименьшей площади с вершинами в трёх точках одного цвета.

Решение

Рассмотрим треугольник Т наименьшей площади S с вершинами в трёх точках одного цвета. Допустим, что на его сторонах расположено по крайней мере три точки другого цвета. Тогда эти три точки являются вершинами треугольника, площадь которого меньше S, что противоречит выбору треугольника Т.

Источники и прецеденты использования