В треугольнике ABC точки A₁, B₁ и C₁ – середины сторон BC, CA и AB соответственно. Точки B₂ и C₂ – середины отрезков BA₁ и CA₁ соответственно. Точка B₃ симметрична C₁ относительно B, а точка C₃ симметрична B₁ относительно C. Докажите, что одна из точек пересечения описанных окружностей треугольников BB₂B₃ и CC₂C₃ лежит на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Тема:    [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

Решение

Предположим, что данная фигура разбита на параллелограммы. Легко доказать от противного, что сторона любого параллелограмма разбиения параллельна одной из сторон фигуры. Тем же методом легко показать, что если параллелограмм одной стороной примыкает к некоторой стороне a фигуры, то другая его сторона параллельна стороне b, образующей с a острый угол. Рассмотрим теперь вершину исходного квадрата. Ее обязаны содержать хотя бы 2 параллелограмма. Из доказанного следует, что они перекрываются – противоречие.

Источники и прецеденты использования