а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.

   Решение

Докажите, что если в остроугольном треугольнике  h_a = l_b = m_c, то этот треугольник равносторонний.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Свойства сечений ] [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Решение

  Стороны пятиугольника лежат в пяти гранях куба. Среди этих пяти граней есть две пары параллельных. Поэтому параллельны и соответствующие стороны пятиугольника. Это значит, что пятиугольник получается из некоторого параллелограмма ABCD срезанием одного из его углов (например, отрезанием треугольника DEF).
  Предположим, что длины всех сторон пятиугольника находятся в пределах от 80 до 120 см. Тогда то же верно и для параллелограмма ABCD. Поэтому длины отрезков ED и DF не превышают 40 см. Это, однако, противоречит неравенству треугольника:  ED + DF ≤ 80 ≤ EF.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования