Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется 100 серебряных монет, упорядоченных по весу, и 101 золотая монета, они также упорядочены по весу. Известно, что все монеты по весу различны. В нашем распоряжении – двухчашечные весы, позволяющие про каждые две монеты установить, какая тяжелее. Как за наименьшее число взвешиваний найти монету, занимающую среди всех монет 101-е место?

   Решение

---

Шейх разложил свои сокровища по девяти мешкам: в первый мешок 1 кг, во второй – 2 кг, в третий – 3 кг, и так далее, в девятый – 9 кг. Коварный визирь украл часть сокровищ из одного мешка. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь шейху определить, из какого именно?

   Решение

Темы:    [ Параллельный перенос. Построения и геометрические места точек ] [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Перенос помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни A и B, чтобы путь AMNB из деревни A в деревню B был кратчайшим (берега реки считаются параллельными прямыми, мост предполагается перпендикулярным к реке).

Подсказка

Рассмотрите образы точек A и M при параллельном переносе на вектор и воспользуйтесь неравенством треугольника.

Решение

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе на вектор точка A перейдёт в некоторую точку A₁, а точка M — в точку N. Тогда

(неравенство треугольника), причём равенство достигается, если точки A₁, N и B лежат на одной прямой, т.е. BN || AM.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Отложим от точки A отрезок AA₁, по величине равный ширине реки и перпендикулярный к её направлению, соединим точку A₁ с точкой B. Точка N, полученная при пересечении A₁B с более близким к B берегом реки, определит положение моста.

Источники и прецеденты использования