В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы.

Решение

Пусть вписанная окружность касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁. Треугольники A₁BC₁ и A₁CB₁ равнобедренные; их углы при основаниях равны  ½ (180° – ∠B)  и  ½ (180° – ∠C).  Следовательно,  ∠A₁ = ½ (∠B + ∠C).  Аналогично  ∠B₁ = ½ (∠A + ∠C)  и  ∠C₁ = ½ (∠A + ∠B).  Аналогичные вычисления для второго треугольника показывают, что  ∠A₂ = ½ (∠B₁ + ∠C₁) = ½ (2∠A + ∠B + ∠C),  ∠B₂ = ½ (2∠B + ∠A + ∠C)  и
∠C₂ = ½ (2∠C + ∠A + ∠B).  Пусть для определённости  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C.  Тогда  ∠A₂ ≤ ∠B₂ ≤ ∠C₂.  Таким образом, из данного условия следует, что
∠A = ∠A₂,  то есть  2∠A = ∠B + ∠C.  Учитывая неравенство  ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C,  получаем  ∠A = ∠B = ∠C.

Ответ

Все углы равны 60°.

Источники и прецеденты использования