Задача 98510

Темы:    [ Средние величины ] [ Ограниченность, монотонность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Рыбников И.Г.

В магазин завезли 20 кг сыра, за ним выстроилась очередь. Отпустив сыр очередному покупателю, продавщица безошибочно подсчитывает средний вес покупки по всему проданному сыру и сообщает, на сколько человек хватит оставшегося сыра, если все будут покупать именно по этому среднему весу. Могла ли продавщица после каждого из первых 10 покупателей сообщать, что сыра хватит ещё ровно на 10 человек? Если да, то сколько сыра осталось в магазине после первых 10 покупателей?

Решение

Пусть s_k – средний вес сыра, проданного первым k покупателям. По условию  20 – ks_k = 10s_k,  отсюда     кг, а после k-го покупателя остаётся
  кг сыра. Так как полученная последовательность убывает, то продавщица может делать такое сообщение после каждого покупателя (не ограничиваясь первыми десятью). После 10-го покупателя осталась ровно половина сыра – 10 кг.

Ответ

Могла; 10 кг.

Замечания

1. 4 балла.

2. Эта задача является дискретным аналогом задачи 98513.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2000/2001
Номер	22
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3