Информация о задаче

Задача 77972

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
	[	Иррациональные неравенства	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать неравенство

$\displaystyle {\frac{2-\overbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}^{n{\rm раз}}}{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1{\rm раз}}}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Решение

Пусть a = $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}_{n-1}^{}\,$ . Тогда $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}}_{n}^{}\,$ = $\sqrt{2+a}$ . Таким образом, требуется доказать, что

$\displaystyle {\frac{2-\sqrt{2+a}}{2-a}}$ > $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ .

Индукцией по n легко доказать, что a < 2. Поэтому следующие неравенства эквивалентны требуемому:

8 - 4 $\displaystyle \sqrt{2+a}$	>	2 - a,
6 + a	>	4 $\displaystyle \sqrt{2+a}$ .

После возведения в квадрат получаем неравенство 36 + 12a + a² > 32 + 16a, т.е. (a - 2)² > 0.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	8
Тур	1
задача
Номер	4


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	5


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	16
Год	1953
вариант
Класс	10
Тур	1
задача
Номер	5