Набор чисел a₀, a₁, ..., a_n удовлетворяет условиям:  a₀ = 0,  a_k+1 ≥ a_k + 1  при  k = 0, 1, ..., n – 1.  Докажите неравенство  

   Решение

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Приближения чисел ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11 Название задачи: Теорема Валена.

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если  ^P_n/_Qn  (n ≥ 1)  – подходящая дробь к числу α, то имеет место по крайней мере одно из неравенств     или     Получите отсюда теорему Валена: для любого α найдётся бесконечно много таких дробей ^p/_q, что  |α – ^p/_q| < ¹/_2q².

Решение

Разберём случай чётного n (тогда ^P_n/_Qn ≤ α < ^P_n–1/_Qn–1).  Пусть     и     Тогда     (неравенство Коши строгое, поскольку  Q_n ≠ Q_n–1).  Противоречие.

Источники и прецеденты использования