Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа  1, 2, 3, ..., n  записываются в некотором порядке:  a₁, a₂, a₃, ..., a_n.  Берётся сумма  S = ^a₁/₁ + ^a₂/₂ + ... + ^a_n/_n.  Найдите такое n, чтобы среди таких сумм (при всевозможных перестановках  a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  встретились все целые числа от n до  n + 100.

 

   Решение

Темы:    [ Равные треугольники. Признаки равенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На луче OX отложены последовательно точки A и C, а на луче OY – B и D. При этом  OA = OB  и  AC = BD.  Прямые AD и BC пересекаются в точке E.
Докажите, что луч OE – биссектриса угла XOY.

Подсказка

Докажите равенство треугольников OAE и OBE.

Решение 1

Из равенства треугольников OAD и OBC (по двум сторонам и углу между ними) следует, что  AD = BC  и  ADB = ∠BCA.  Поэтому треугольники ABC и BAD равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠BAE = ∠ABE и треугольник ABE – равнобедренный,  BE = AE.  Значит, треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам. В частности,  ∠BOE = ∠AOE,  то есть луч OE – биссектриса угла XOY.

Решение 2

При симметрии относительно биссектрисы l угла XOY картинка переходит в себя. В частности, точка E переходит в себя. Значит, она лежит на l.

Источники и прецеденты использования