Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
Найдите объём правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 1.
Куб n×n×n сложен из единичных кубиков. Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная, каждое звено которой соединяет центры двух соседних (имеющих общую грань) кубиков. Назовём отмёченными грани кубиков, пересекаемые данной ломаной. Докажите, что рёбра кубиков можно окрасить в два цвета так, чтобы каждая отмеченная грань имела нечётное число, а всякая неотмеченная грань – чётное число сторон каждого цвета.
|
|
 |
Условие
Требуется заполнить числами квадратную таблицу из n×n клеток так, чтобы сумма чисел на каждой из 4n – 2 диагоналей равнялась 1. Можно ли это сделать при
а) n = 55?
б) n = 1992?
Решение
Докажем, что описанным в условии способом таблицу можно заполнить тогда и только тогда, когда число n нечётно.
Пусть сначала число n = 2k чётно. Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка Раскрасим таблицу в шахматном порядке так, чтобы клетка (1, 1) была чёрной. Найдём сумму чисел в чёрных клетках двумя способами: первый раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, 1) – (n, n), и второй раз, группируя слагаемые по диагоналям, параллельным диагонали (1, n) – (n, 1). В первом случае получим n – 1, а во втором – n. Противоречие.
Ниже приведён пример таблицы 5×5 с нужными свойствами. Аналогично строится таблица n×n для любого нечётного n (при n = 1 достаточно поставить в единственную клетку число 1).
Ответ
а) Можно; б) нельзя.
