Информация о задаче

Задача 55338

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, углом B, равным 30^o, и катетом CA = 1, проведена медиана CD. Кроме того, из точки D под углом 15^o к гипотенузе проведена прямая, пересекающая отрезок BC в точке F. Найдите площадь треугольника CDF. Укажите её приближённое значение в виде десятичной дроби с точностью до 0,01.

Подсказка

Примените теорему синусов к треугольнику CDF.

Решение

Поскольку DC = DB, то

$\displaystyle \angle$ DCF = $\displaystyle \angle$ ABC = 30^o, $\displaystyle \angle$ DFC = $\displaystyle \angle$ BDF + $\displaystyle \angle$ DBF = 45^o,

$\displaystyle \angle$ CDF = 180^o - 30^o - 45^o = 105^o.

Поскольку CD = AC = 1, то по теореме синусов из треугольника CDF находим, что

CF = $\displaystyle {\frac{CD\sin 105^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}}$ = $\displaystyle \sqrt{2}$ (sin 60^ocos 45^o + cos 60^osin 45^o) = $\displaystyle {\frac{\sqrt{3} + 1}{2}}$ .

Высота DK треугольника ABC является средней линией треугольника ABC. Поэтому DK = ${\frac{1}{2}}$ AC = ${\frac{1}{2}}$ . Следовательно, S_CDF = ${\frac{1}{2}}$ CF^.DK = ${\frac{\sqrt{3}+1}{8}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{3}+1}{8}}$ ; 0, 34

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4085