Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ проходит через точки P и Q.

Решение

Треугольник ABC₁ равнобедренный, причем угол при его основании AB равен углу Брокара . Поэтому  (PC₁, C₁Q) = (BC₁, C₁A) = 2. Аналогично  (PA₁, A₁Q) = (PB₁, B₁Q) = (PC₁, C₁Q) = 2.

Источники и прецеденты использования