ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



Задача 56967

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что  $ \angle$ABP = $ \angle$CAP = $ \angle$BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники  CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Прислать комментарий     Решение


Задача 56968

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите, что  $ \triangle$ABC = $ \triangle$B1C1A1.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 56969

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  $ \varphi$ = $ \angle$ABP = $ \angle$BCP = $ \angle$CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg$ \varphi$ = ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56970

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит  30o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит  30o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56971

Тема:   [ Точки Брокара ]
Сложность: 6
Классы: 9

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABCO — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$ABC и O — первая точка Брокара треугольника A1B1C1.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .