Задача 56968

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  ABC = B₁C₁A₁.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)

Решение

а) Докажем, что  AB = B₁C₁, т. е. AB = B₁C₁. В самом деле,  AB = AC₁ + C₁B, а  C₁B = AB₁, поэтому  AB = AC₁ + AB₁ = B₁C₁.
б) Будем считать, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ вписаны в одну окружность, причем треугольник ABC фиксирован, а треугольник A₁B₁C₁ вращается. Прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A₁B₁C₁ (задача 7.20, б)). При этом может возникнуть 12 различных семейств треугольников A₁B₁C₁: треугольники ABC и A₁B₁C₁ могут совмещаться поворотом или осевой симметрией; кроме того, вершинам треугольника символы A₁, B₁ и C₁ можно сопоставить шестью различными способами.
Из этих 12 семейств треугольников четыре семейства никогда не могут дать искомой точки P. Для одинаково ориентированных треугольников исключаются случаи  ABC = A₁C₁B₁,ABC = C₁B₁A₁ и  ABC = B₁A₁C₁ (например, в случае  ABC = A₁C₁B₁ точка P является точкой пересечения прямой BC = B₁C₁ и касательной к окружности в точке A = A₁; треугольники ABC и A₁B₁C₁ при этом совпадают). Для противоположно ориентированных треугольников исключается случай  ABC = A₁B₁C₁ (в этом случае  AA₁| BB₁| CC₁).
Замечание. Точкам Брокара соответствуют противоположно ориентированные треугольники; для первой точки Брокара  ABC = B₁C₁A₁, а для второй точки Брокара  ABC = C₁A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.116