ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57149
Темы:    [ ГМТ и вписанный угол ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Поворот (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) На окружности фиксированы точки A и B, а точки A1 и B1 движутся по той же окружности так, что величина дуги A1B1 остается постоянной; M — точка пересечения прямых AA1 и BB1. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A1B1C1, причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A1B1C1 вращается. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке не более чем при одном положении треугольника A1B1C1.

Решение

а) Если точка A1 пройдет по окружности дугу величиной 2$ \varphi$, то точка B1 тоже пройдет дугу величиной 2$ \varphi$, а значит, прямые AA1 и BB1 повернутся на угол $ \varphi$ и угол между ними не изменится. Поэтому точка M перемещается по окружности, содержащей точки A и B.
б) Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 в некоторый момент пересекаются в точке P. Тогда, например, точка пересечения прямых AA1 и BB1 перемещается по описанной окружности треугольника ABP. Ясно также, что описанные окружности треугольников ABP, BCP и CAP имеют единственную общую точку P.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 3
Название Вписанный угол
Тема ГМТ и вписанный угол
задача
Номер 07.020

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .