Условие
а) На окружности фиксированы точки A и B, а
точки A1 и B1 движутся по той же окружности так, что величина
дуги A1B1 остается постоянной; M — точка пересечения
прямых AA1 и BB1. Найдите ГМТ M.
б) В окружность вписаны треугольники ABC и A1B1C1,
причем треугольник ABC неподвижен, а треугольник A1B1C1
вращается. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке не более чем при одном положении треугольника A1B1C1.
Решение
а) Если точка A1 пройдет по окружности дугу
величиной 2
, то точка B1 тоже пройдет дугу величиной 2,
а значит, прямые AA1 и BB1 повернутся на угол и угол между
ними не изменится.
Поэтому точка M перемещается по окружности, содержащей точки A
и B.
б) Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 в некоторый момент пересекаются в
точке P. Тогда, например, точка пересечения прямых AA1 и BB1
перемещается по описанной окружности треугольника ABP. Ясно также,
что описанные окружности треугольников ABP, BCP и CAP имеют
единственную общую точку P.
Источники и прецеденты использования
