Задача 56971

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

Решение

Прямые  A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ являются серединными перпендикулярами к отрезкам AQ, BQ и CQ. Поэтому, например,  B₁A₁C₁ = 180^o - AQC = A. Для других углов доказательство аналогично.
Кроме того, прямые A₁O, B₁O и C₁O являются серединными перпендикулярами к отрезкам CA, AB и BC. Поэтому, например, острые углы OA₁C₁ и ACQ имеют взаимно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Аналогичные рассуждения показывают, что  OA₁C₁ = OB₁A₁ = OC₁B₁ = , где  — угол Брокара треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.119