ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56971
Тема:    [ Точки Брокара ]
Сложность: 6
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABCO — центр его описанной окружности, A1, B1 и C1 — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  $ \triangle$A1B1C1 $ \sim$ $ \triangle$ABC и O — первая точка Брокара треугольника A1B1C1.

Решение

Прямые  A1B1, B1C1 и C1A1 являются серединными перпендикулярами к отрезкам AQ, BQ и CQ. Поэтому, например,  $ \angle$B1A1C1 = 180o - $ \angle$AQC = $ \angle$A. Для других углов доказательство аналогично.
Кроме того, прямые A1O, B1O и C1O являются серединными перпендикулярами к отрезкам CA, AB и BC. Поэтому, например, острые углы OA1C1 и ACQ имеют взаимно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Аналогичные рассуждения показывают, что  $ \angle$OA1C1 = $ \angle$OB1A1 = $ \angle$OC1B1 = $ \varphi$, где $ \varphi$ — угол Брокара треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 12
Название Точки Брокара
Тема Точки Брокара
задача
Номер 05.119

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .