Условие
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует
такая точка P, что
ABP =
CAP =
BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные
ему треугольники
CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех
четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1
и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с
точкой задачи а).
Решение
Решим сразу задачу б). Докажем сначала, что
прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Пусть
описанные окружности треугольников A1BC и AB1C пересекаются в
точке O. Тогда
(BO, OA) =
(BO, OC) +
(OC, OA) =
(BA1, A1C) +
(CB1, B1A) =
(BA, AC1) +
(C1B, BA) =
(C1B, AC1), т. е. описанная окружность
треугольника ABC1 тоже проходит через точку O. Поэтому
(AO, OA1) =
(AO, OB) +
(BO, OA1) =
(AC1, C1B) +
(BC, CA1) = 0o, т. е. прямая AA1
проходит через точку O. Аналогично доказывается, что прямые BB1
и CC1 проходят через точку O.
Докажем теперь, что точка O совпадает с искомой точкой P.
Так как
BAP =
A -
CAP, то равенство
ABP =
CAP эквивалентно равенству
BAP +
ABP =
A, т. е.
APB =
B +
C. Для точки O последнее
равенство очевидно, так как она лежит на описанной окружности
треугольника ABC1.
Источники и прецеденты использования
|
книга |
Автор |
Прасолов В.В. |
Год издания |
2001 |
Название |
Задачи по планиметрии |
Издательство |
МЦНМО |
Издание |
4* |
глава |
Номер |
5 |
Название |
Треугольники |
параграф |
Номер |
12 |
Название |
Точки Брокара |
Тема |
Точки Брокара |
задача |
Номер |
05.115 |