Информация о задаче

Задача 56967

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что $\angle$ ABP = $\angle$ CAP = $\angle$ BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Решение

Решим сразу задачу б). Докажем сначала, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Пусть описанные окружности треугольников A₁BC и AB₁C пересекаются в точке O. Тогда $\angle$ (BO, OA) = $\angle$ (BO, OC) + $\angle$ (OC, OA) = $\angle$ (BA₁, A₁C) + $\angle$ (CB₁, B₁A) = $\angle$ (BA, AC₁) + $\angle$ (C₁B, BA) = $\angle$ (C₁B, AC₁), т. е. описанная окружность треугольника ABC₁ тоже проходит через точку O. Поэтому $\angle$ (AO, OA₁) = $\angle$ (AO, OB) + $\angle$ (BO, OA₁) = $\angle$ (AC₁, C₁B) + $\angle$ (BC, CA₁) = 0^o, т. е. прямая AA₁ проходит через точку O. Аналогично доказывается, что прямые BB₁ и CC₁ проходят через точку O.
Докажем теперь, что точка O совпадает с искомой точкой P. Так как $\angle$ BAP = $\angle$ A - $\angle$ CAP, то равенство $\angle$ ABP = $\angle$ CAP эквивалентно равенству $\angle$ BAP + $\angle$ ABP = $\angle$ A, т. е. $\angle$ APB = $\angle$ B + $\angle$ C. Для точки O последнее равенство очевидно, так как она лежит на описанной окружности треугольника ABC₁.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.115