Информация о задаче

Задача 56970

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30^o.

Решение

а) Согласно задаче 10.38, a) ctg $\varphi$ = ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ $\geq$ $\sqrt{3}$ = ctg30^o, поэтому $\varphi$ $\leq$ 30^o.
б) Пусть P — первая точка Брокара треугольника ABC. Точка M лежит внутри (или на границе) одного из треугольников ABP, BCP и CAP. Если, например, точка M лежит внутри треугольника ABP, то $\angle$ ABM $\leq$ $\angle$ ABP $\leq$ 30^o.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.118