Информация о задаче

Задача 56969

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол $\varphi$ = $\angle$ ABP = $\angle$ BCP = $\angle$ CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что ctg $\varphi$ = ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ .
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

Решение

а) Так как PC = ${\frac{AC\sin CAP}{\sin APC}}$ и PC = ${\frac{BC\sin CBP}{\sin BPC}}$ , то ${\frac{\sin\varphi \sin\beta }{\sin\gamma }}$ = ${\frac{\sin(\beta -\varphi )\sin\alpha }{\sin\beta }}$ . Учитывая, что sin( $\beta$ - $\varphi$ ) = sin $\beta$ cos $\varphi$ - cos $\beta$ sin $\varphi$ , получаем ctg $\varphi$ = ctg $\beta$ + ${\frac{\sin\beta }{\sin\alpha \sin\gamma }}$ . Остается заметить, что sin $\beta$ = sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) = sin $\alpha$ cos $\gamma$ + sin $\gamma$ cos $\alpha$ .
б) Для второго угла Брокара получаем точно такое же выражение, как и в задаче а). Ясно также, что оба угла Брокара острые.
в) Так как $\angle$ A₁BC = $\angle$ BCA и $\angle$ BCA₁ = $\angle$ CAB, то $\triangle$ CA₁B $\sim$ $\triangle$ ABC. Поэтому точка Брокара P лежит на отрезке AA₁ (см. задачу 5.115, б)).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	12
Название	Точки Брокара
Тема	Точки Брокара
задача
Номер	05.117