ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56969
Тема:    [ Точки Брокара ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  $ \varphi$ = $ \angle$ABP = $ \angle$BCP = $ \angle$CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg$ \varphi$ = ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.

Решение

а) Так как  PC = $ {\frac{AC\sin CAP}{\sin APC}}$ и  PC = $ {\frac{BC\sin CBP}{\sin BPC}}$, то  $ {\frac{\sin\varphi \sin\beta }{\sin\gamma }}$ = $ {\frac{\sin(\beta -\varphi )\sin\alpha }{\sin\beta }}$. Учитывая, что  sin($ \beta$ - $ \varphi$) = sin$ \beta$cos$ \varphi$ - cos$ \beta$sin$ \varphi$, получаем  ctg$ \varphi$ = ctg$ \beta$ + $ {\frac{\sin\beta }{\sin\alpha \sin\gamma }}$. Остается заметить, что  sin$ \beta$ = sin($ \alpha$ + $ \gamma$) = sin$ \alpha$cos$ \gamma$ + sin$ \gamma$cos$ \alpha$.
б) Для второго угла Брокара получаем точно такое же выражение, как и в задаче а). Ясно также, что оба угла Брокара острые.
в) Так как  $ \angle$A1BC = $ \angle$BCA и  $ \angle$BCA1 = $ \angle$CAB, то  $ \triangle$CA1B $ \sim$ $ \triangle$ABC. Поэтому точка Брокара P лежит на отрезке AA1 (см. задачу 5.115, б)).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 12
Название Точки Брокара
Тема Точки Брокара
задача
Номер 05.117

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .