Две окружности с центрами M и N, лежащими на стороне AB треугольника ABC, касаются друг друга и пересекают стороны AC и BC в точках A, P и B, Q соответственно. Причем AM = PM = 2, BN = = QN = 5. Найдите радиус описанной около треугольника ABC окружности, если известно, что отношение площади треугольника AQN к площади треугольника MPB равно 15)/(5).

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть P и Q — первая и вторая точки Брокара треугольника ABC. Прямые CP и BQ, AP и CQ, BP и AQ пересекаются в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что описанная окружность треугольника A₁B₁C₁ проходит через точки P и Q.

Решение

Треугольник ABC₁ равнобедренный, причем угол при его основании AB равен углу Брокара . Поэтому  (PC₁, C₁Q) = (BC₁, C₁A) = 2. Аналогично  (PA₁, A₁Q) = (PB₁, B₁Q) = (PC₁, C₁Q) = 2.

Источники и прецеденты использования