Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?

   Решение

Тема:    [ Точки Брокара ]

Сложность: 6 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

Решение

Прямые  A₁B₁, B₁C₁ и C₁A₁ являются серединными перпендикулярами к отрезкам AQ, BQ и CQ. Поэтому, например,  B₁A₁C₁ = 180^o - AQC = A. Для других углов доказательство аналогично.
Кроме того, прямые A₁O, B₁O и C₁O являются серединными перпендикулярами к отрезкам CA, AB и BC. Поэтому, например, острые углы OA₁C₁ и ACQ имеют взаимно перпендикулярные стороны, поэтому они равны. Аналогичные рассуждения показывают, что  OA₁C₁ = OB₁A₁ = OC₁B₁ = , где  — угол Брокара треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования