Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеется 100-значное число, состоящее из единиц и двоек. Разрешается в любых десяти последовательных цифрах поменять местами первые пять с пятью следующими. Два таких числа называются похожими, если одно из них получается из другого несколькими такими операциями. Какое наибольшее количество попарно непохожих чисел можно выбрать?

   Решение

---

Каю дали целый ящик с фигурками в виде "пьедестала" (см. рисунок).
а) Сможет ли он замостить ими шахматную доску 8×8?
б) А доску 10×10?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Решение

Предположим, что  x = 2^mu,  y = 2ⁿv,  z = 2^kw,  где числа u, v, w нечётны. Можно считать, что  m ≤ n ≤ k.  Тогда обе части уравнения можно сократить на 2^2m. В результате получим  u² + 2^(n–m)v² + 2^(k–m)w² = 2^n+k–m+1uvw,  где  n + k – m + 1 ≥ 1.  Если  n = m = k,  то при делении на 4 число в левой части этого равенства даёт остаток 3, а число в правой части даёт остаток 0 или 2. Если же  k > n,  то число в левой части даёт остаток 1, 2 или 3, а число в правой части – остаток 0. Противоречие.

Источники и прецеденты использования