Задача 87042

Темы:    [ Куб ] [ Куб ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Дан куб ABCDA1B1C1D1 . На отрезках AB1 и BC1 взяты точки P и Q , причём AP:PB1 = C1Q:QB = 2:1 . Докажите, что отрезок PQ перпендикулярен прямым AB1 и C1B , и найдите его длину, если ребро куба равно a .

Решение

Обозначим AB = x , AD = y , AA1 = z , = , = , = , x = y = z = a . Тогда

= + , = + ,

=+ + = + - =

= ( + ) + - ( + ) = + - = ( + - ).
Поэтому
· = ( + - )( + ) =(· - · ) = (a2 - a2) = 0

· = ( + - )(+) = (· - · ) = (a2 - a2) = 0.
Следовательно, PQ AB1 и PQ C1B . Далее имеем:
PQ2 = ( + - )2 = (2 + 2 + 2) = (a2 + a2 + a2) = a2.
Следовательно, PQ = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер	7255