ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи P(х) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что числа 1 и 2 являются его корнями. Докажите, что найдётся коэффициент, который меньше –1. |
Задача 98200
УсловиеДесятичные записи натуральных чисел выписаны подряд, начиная с единицы,
до некоторого n включительно: 12345678910111213...(n). Решение 1Докажем, что единиц в такой записи всегда больше, чем нулей. Первый способ. Индукция. База (выписаны несколько первых цифр) очевидна: нулей в записи нет, а единица есть. Второй способ. Каждому нулю в записи поставим в соответствие единицу, которая стоит левее него. А именно, пусть 0 – цифра в некотором числе X, стоящая в нем на (m+1)-м месте с конца (m ≥ 0). Тогда в ряду левее числа X записано число X – 9·10m, в котором на (m+1)-м месте стоит цифра 1. Решение 2Девятки всегда появляются позже, чем единицы. Отсюда следует, что единственный кандидат на роль n, который мог бы подойти, – число вида 9...9. Но в этом случае легко видеть, что нулей будет меньше, чем других цифр. ОтветНе существует. Замечания3 балла Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке