Информация о задаче

Задача 56906

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A₁, B₁ и C₁, лежащие на одной прямой. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ = 1.

Решение

Применим теорему Менелая к треугольникам AC₁B₁, C₁A₁B₁, A₁CB₁ и CAB:

$\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{A_1B_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{B_1C}{CA}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{C_1B_1}{B_1A_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{A_1C}{CB}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA}{AC_1}}$ = 1,
$\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CA}{AB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{B_1C_1}{C_1A_1}}$ = 1, $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ ^. $\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ ^. $\displaystyle {\frac{BA_1}{A_1C}}$ = 1.

Перемножив эти равенства, получим

$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC} \cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right.$ $\displaystyle {\frac{AB}{BC_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{C_1A_1}{B_1A_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{A_1B}{BC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CB_1}{B_1A}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{AB}{BC_1}\cdot\frac{C_1A_1}{B_1A_1}\cdot\frac{A_1B}{BC} \cdot\frac{CB_1}{B_1A}}\right)^{2}_{}$ = 1.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	7
Название	Теорема Менелая
Тема	Теоремы Чевы и Менелая
задача
Номер	05.069B