В выпуклом пятиугольнике ABCDE углы при вершинах B и D – прямые,  ∠BCA = ∠DCE,  а точка M – середина стороны AE. Доказать, что  MB = MD.

   Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Катеты AC и CB прямоугольного треугольника ABC равны 15 и 8 соответственно. Из центра C радиусом CB описана дуга, отсекающая от гипотенузы часть BD. Найдите BD.

Решение

Опустим перпендикуляр CP на хорду BD. Тогда P – середина BD. Поскольку  BC·AC = 2S_ABC = AB·CP,  то  CP = ¹²⁰/₁₇.  По теореме Пифагора
PB² = BC² – CP² = (8 – ¹²⁰/₁₇)(8 + ¹²⁰/₁₇) = (⁶⁴/₁₇)².  Следовательно,   BD = 2PB = ¹²⁸/₁₇.

Ответ

¹²⁸/₁₇.

Источники и прецеденты использования