На листе бумаги синим карандашом нарисовали треугольник, а затем провели в нём красным карандашом медиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разных вершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбиение треугольника на части. Мог ли среди этих частей оказаться равносторонний треугольник с красными сторонами?

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Решение

  Докажем утверждение индукцией по количеству n сторон многоугольника. База  (n = 3)  очевидна.
  Шаг индукции. Пусть  n ≥ 4  и выпуклый n-угольник P разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники. Согласно задаче 58155 одна из этих диагоналей (d) делит P на треугольник T и (n–1)-угольник P'. Если две равные стороны треугольника T являются сторонами P, то всё доказано.
  В противном случае T и P имеют общую сторону, равную d. В многоугольнике P' по предположению индукции найдутся две равные стороны. Если они не равны d, то всё доказано. Если же они равны d, то в P нашлись две стороны, равные d.

Источники и прецеденты использования