На столе стоят 13 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана.
Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

   Решение

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k.

Решение

  Оценка. Пусть записаны числа a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Положим  b_i = a_i – a₁.  Многочлен сотой степени  P(x) = x(x + b₂)...(x + b₁₀₀)  не может принимать одно значение более 100 раз. Но по условию он принимает одно и то же значение в точках  a₁,  a₁ + 1,  a₁ + 2,  ...,  a₁ + k.  Следовательно,  k ≤ 99.
  Пример. Пусть записаны числа –99, –98, ..., – 1, 0. Тогда при прибавлении к ним от одной до 99 единиц произведение полученных чисел равно нулю.

Ответ

99.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования