Треугольник ABC вписан в окружность. Точка A₁ диаметрально противоположна точке A, точка A₀ – середина стороны BC, точка A₂ симметрична точке A₁ относительно точки A₀. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что точки A₂, B₂ и C₂ совпадают.

   Решение

Темы:    [ Биссектриса угла ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Окружность Аполлония ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что  MK = KN.

Решение

Заметим, что  ∠MAN = 90°,  так как этот угол образован биссектрисами смежных углов (см. рисунок). Обозначим величины углов A и C данного треугольника через α и γ соответственно. Тогда  ∠KAB = ∠ACB = γ  (угол между касательной и хордой),   ∠KNA = ^α/₂ + γ  (внешний угол треугольника ACN). Значит, в треугольнике AKN  ∠KAN = ^α/₂ + γ = ∠KNA,  следовательно,  KA = KN.  Таким образом, AK – медиана прямоугольного треугольника MАN, проведённая к гипотенузе, то есть K – середина MN.

Замечания

Из доказанного утверждения автоматически следует, что точка K является центром окружности Аполлония треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования