а) Есть три одинаковых больших сосуда. В одном – 3 л сиропа, в другом – 20 л воды, третий – пустой. Можно выливать из одного сосуда всю жидкость в другой или в раковину. Можно выбрать два сосуда и доливать в один из них из третьего, пока уровни жидкости в выбранных сосудах не сравняются. Как получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

б) То же, но воды – N л. При каких целых N можно получить 10 л разбавленного 30%-го сиропа?

   Решение

Тема:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что  S_ABC/S_A1B1C1 = 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

Легко проверить, что  S_ABC = 2R²sinsinsin. Аналогично  S_A1B1C1 = 2R²sin(( + )/2)sin(( + )/2)sin(( + )/2) = 2R²cos(/2)cos(/2)cos(/2). Поэтому  S_ABC/S_A1B1C1 = 8 sin(/2)sin(/2)sin(/2) = 2r/R (см. задачу 12.36, а).

Источники и прецеденты использования