Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?

   Решение

Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

   Решение

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

a) Петя и Вася задумали по три натуральных числа. Петя для каждых двух своих чисел написал на доске их наибольший общий делитель. Вася для каждых двух из своих чисел написал на доске их наименьшее общее кратное. Оказалось, что Петя написал на доске те же числа, что и Вася (возможно в другом порядке). Докажите, что все написанные на доске числа равны.

б) Останется ли верным утверждение предыдущей задачи, если Петя и Вася изначально задумали по четыре натуральных числа?

Решение

  а) Пусть Петя и Вася написали числа a, b и c. Попарные наибольшие общие делители этих чисел равны: это наибольший общий делитель d трёх чисел, задуманных Петей. С другой стороны, каждый такой попарный делитель делится на одно из чисел, задуманных Васей. Значит, d делится и на наименьшее общее кратное задуманных Васей чисел, которое равно  НОК(a, b, c).  Следовательно,  НОК(a, b, c) = НОД(a, b, c),  то есть  a = b = c.

  б) Контрпример: если Петя задумал числа 6, 10, 15, 30, а Вася – числа 1, 2, 3, 5, то оба выпишут наборы 2, 3, 5, 6, 10, 15.

Ответ

б) Не останется.

Замечания

1. Более общий контрпример: у Васи – четыре попарно взаимно простых числа a, b, c, d, у Пети – abc, abd, acd, bcd; в итоге оба напишут ab, ac, ad, bc, bd, cd.   Вырожденный пример: у Васи – 1, 1, 1, 2, у Пети – 1, 2, 2, 2.

2. Баллы: 8-9 кл – 3 + 3, 10-11 кл. – 2 + 2.

Источники и прецеденты использования