От потолка комнаты вертикально вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до пола, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одной и той же скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее.
Какая из мух раньше приползет обратно? У какой из мух выше средняя скорость движения?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Прямоугольные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делит этот угол на три равные части.

Решение

  Пусть высота CD и медиана CM делят угол C треугольника ABC на три равные части. Предположим, что точка D расположена между B и M. Обозначим  ∠BCD = ∠DCM = ∠ACM = α.  Поскольку в треугольнике BCM высота CD является биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, поэтому CD – медиана треугольника BCM и  BD = DM.

  Первый способ. Пусть K – проекция точки M на AC. Тогда из равенства прямоугольных треугольников CKM и CDM (по гипотенузе и острому углу) следует, что  MK = DM = ½ BM = ½ AM.
  Значит,  ∠MAK = 30°.  Следовательно,  2α = ∠ACD = 90° – ∠MAK = 60°,  α = 30°,  ∠C = 3α = 90°,  ∠B = 60°.

  Второй способ. Биссектриса CM треугольника ACD делит сторону AD на отрезки, пропорциональные сторонам AC и CD, то есть
CD : AC = DM : AM = DM : BM = ½.
  Значит,  ∠CAD = 30°.  Следовательно,   2α = ∠ACD = 90° – ∠CAD = 60°,  α = 30°.

Ответ

30°, 60°, 90°.

Источники и прецеденты использования