Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать куда-то и спросить сидящих: "Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?" После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя. Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.)
Решение
|
|
 |
Условие
Даны 103 монеты одинакового внешнего вида. Известно, что две из них – фальшивые, что все настоящие одинакового веса, что фальшивые – тоже одинакового веса, отличающегося от веса настоящих монет. Но неизвестно, в какую сторону отличаются веса фальшивых монет от настоящих. Как можно это узнать с помощью трёх взвешиваний на двухчашечных весах без гирь? (Отделить фальшивые монеты не требуется.)
Решение
Пусть у нас имеется 6k + 1 монета, из которых две фальшивые. Выбросим одну монету, а остальные разделим на три кучки – A, B, C – по 2k монет в каждой. Заметим, что среди них найдутся ровно две кучки с одинаковым весом. Взвесим сначала A с B, а затем B с C. Пусть, например, A тяжелее чем B и C. Тогда в B не более одной фальшивой монеты (так как веса B и C равны). Разделим B на две равные части и взвесим их. Если веса равны, то фальшивая монета тяжелее настоящей, а иначе – легче.
Замечания
1. Задача предлагалась также на Ленинградской математической олимпиаде (1990, 8 кл., № 5).
2. 7 баллов.
