Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник A₀B₀C₀. На его сторонах A₀B₀, B₀C₀, C₀A₀ взяты точки C₁, A₁, B₁ соответственно. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂, и вообще, на сторонах A_nB_n, B_nC_n, C_nA_n, треугольника A_nB_nC_n взяты точки C_{n + 1}, A_{n + 1}, B_{n + 1}. Известно, что

Доказать, что треугольник ABC, образованный пересечением прямых A₀A₁, B₀B₁, C₀C₁, содержится в треугольнике A_nB_nC_n при любом n.

   Решение

Тема:    [ Проективные преобразования прямой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Решение

Обозначим данные прямые через l₀ и l, данные точки на прямой l₀ — через A₀, B₀, C₀, данные точки на прямой l — через A, B, C. Пусть l₁ — произвольная прямая, не проходящая через точку A. Возьмем произвольную точку O₀, не лежащую на прямых l₀ и l₁. Обозначим через P₀ центральное проектирование прямой l₀ на прямую l₁ с центром в точке O₀, а через A₁, B₁, C₁ — проекции точек A₀, B₀, C₀. Пусть l₂ — произвольная прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой l и не проходящая через A₁. Возьмем некоторую точку O₁ на прямой AA₁ и рассмотрим центральное проектирование P₁ прямой l₁ на l₂ с центром в O₁. Обозначим через A₂, B₂, C₂ проекции точек A₁, B₁, C₁. Ясно, что A₂ совпадает с A. Наконец, пусть P₂ — проектирование прямой l₂ на прямую l, которое в том случае, когда прямые BB₂ и CC₂ не параллельны, является центральным проектированием с центром в точке пересечения этих прямых, а в том случае, когда прямые BB₂ и CC₂ параллельны, является параллельным проектированием вдоль одной из этих прямых. Композиция P₂oP₁oP₀ является требуемым проективным преобразованием.

Источники и прецеденты использования