На столе лежит куча из 637 ракушек. Из неё убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трёх ракушек?

   Решение

Тема:    [ Площадь (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O; M и N — середины сторон AB и CD, P и Q — середины диагоналей AC и BD. Докажите, что:
а)  S_PMQN = | S_ABD - S_ACD|/2;
б)  S_OPQ = S_ABCD/4.

Решение

а) Площадь параллелограмма PMQN равна  BC ^. AD sin/4, где  — угол между прямыми AD и BC. Высоты треугольников ABD и ACD, опущенные из вершин B и C, равны  OB sin и  OC sin, поэтому  | S_ABD - S_ACD| = | OB - OC| ^. AD sin/2 = BC ^. AD sin/2.
б) Пусть для определенности пересекаются лучи AD и BC. Так как  PN || AO и  QN || CO, точка N лежит внутри треугольника OPQ. Поэтому S_OPQ = S_PQN + S_PON + S_QON = + + = = .

Источники и прецеденты использования