Рамка для трёх квадратных фотографий имеет везде одинаковую ширину (см. рисунок). Периметр одного отверстия равен 60 см, периметр всей рамки равен 180 см. Чему равна ширина рамки?

   Решение

Тема:    [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ $CM$ – медиана, $P$ – проекция ортоцентра $H$ на биссектрису угла $C$. Докажите, что $MP$ делит отрезок $CH$ пополам.

Решение

Пусть $E$ – середина $CH$. Тогда $CE=EH=EP$ и $\angle PEH=2\angle PCH=|\angle A-\angle B|$. Но точки $E$ и $M$ лежат на окружности девяти точек, поэтому $\angle MEH=\angle MND=|\angle A-\angle B|$, где $N$ – середина $BC$, а $D$ – основание высоты из $C$.

Источники и прецеденты использования