Турист вышел утром из палатки, прошел 10 км на юг, потом 10 км на восток, 10 км на север и оказался у своей палатки. В палатке он обнаружил медведя.
а) Какого цвета был медведь?
б) Мог ли там оказаться не медведь, а пингвин?

   Решение

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

   Решение

Две команды КВН участвуют в игре из четырёх конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырёх полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

   Решение

Фабрика игрушек выпускает проволочные кубики, в вершинах которых расположены маленькие разноцветные шарики. По ГОСТу в каждом кубике должны быть использованы шарики всех восьми цветов (белого и семи цветов радуги). Сколько разных моделей кубиков может выпускать фабрика?

   Решение

Темы:    [ Четность перестановки ] [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

Решение

  Каждая пара  (a, b)  чисел может находиться в двух состояниях: правильном, когда меньшее число стоит левее, и неправильном, когда меньшее число стоит правее. Если между числами a и b стоит ровно k чисел, и мы поменяем a и b местами, то ровно  2k + 1  пара поменяет свое состояние: сама пара  (a, b)  и все пары, содержащие одно из чисел a, b и одно из k промежуточных чисел. Поэтому каждая операция меняет четность числа неправильных пар.
  В начале все пары были правильными. Значит после 1989 операций число неправильных пар станет нечётным. Следовательно, полученный ряд чисел не совпадает с исходным.

Ответ

Не может.

Замечания

1. Ср. с задачей 30311.

2. Мы фактически воспроизвели доказательство известного факта: транспозиция меняет чётность перестановки. На него, конечно, можно просто сослаться.

Источники и прецеденты использования