Задача 116292

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A' и B' — образы точек A и B при инверсии относительно некоторой окружности. Докажите, что точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

Решение

Пусть при инверсии относительно окружности с центром O точка A переходит в точку A' , а точка B — в B' , причём точки A и B не лежат на окружности инверсии. Тогда по определению инверсии точка A' лежит на луче OA , а точка B' — на луче OB . При этом, если радиус окружности инверсии равен R , то OA'= и OB'= , поэтому = . Значит, треугольник B'OA' подобен треугольнику AOB , поэтому

OA'B'= OBA = 180^o- ABB'.
Следовательно, четырёхугольник AA'B'B — вписанный, т.е. точки A , B , A' и B' лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6130