Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

   Решение

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что  60° < ∠C < 90°.

Решение 1

  Пусть A' и B' – точки пересечения окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда угол C равен полуразности дуг AB и A'B'. Поскольку на дугу AB опирается угол между высотами треугольника, равный  180° – ∠C,  то  180° – ∠C > ∠C,  то есть  ∠C < 90°.
  С другой стороны, угол C больше угла между касательными к окружности в точках A и B, который по теореме о вписанном и центральном углах равен
180° – 2∠C.  Следовательно,  ∠C > 60°.

Решение 2

  Пусть угол C не меньше прямого, тогда H лежит вне треугольника или совпадает с C. В обоих случаях точки пересечения не лежат внутри сторон.
  Поскольку  ∠AA'B = ∠BB'A = ∠AHB= 180° – ∠C,  то  ∠AA'C = ∠BB'C = ∠C.  Но эти углы больше углов A и B как внешние углы треугольников AA'B и BB'A. Значит, C – наибольший угол треугольника ABC, то есть он больше 60°.

Источники и прецеденты использования