Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.

   Решение

Темы:    [ Концентрические окружности ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.

Решение

Ответ: три концентрические окружности (с тем же центром) с радиусами r, R и , где R > r — радиусы исходных окружностей. Пусть вершины A, B и D прямоугольника ABCD лежат на двух концентрических окружностях. Противоположные вершины B и D не могут лежать на меньшей окружности. Действительно, если вершина A лежит на большей окружности, а вершины B и D — на меньшей, то BAD = 90^o и поэтому B и D — концы диаметра большей окружности, чего не может быть. Поэтому возможны следующие два варианта. 1) Две соседние вершины вершины лежат на одной окружности, а третья вершина — на второй. Тогда четвёртая вершины тоже лежит на второй окружности. В результате получаем исходные окружности. 2) Противоположные вершины B и D лежат на большей окружности, а вершина A -- на меньшей. Пусть O — общий центр окружностей. Тогда OA = r, OB = OD = R. Поэтому OC = = ; равенство OB² - OA² = OC² - OD² легко проверяется с помощью теоремы Пифагора.

Источники и прецеденты использования