Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол ^360°/_N  (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM₀, через секунду – OM₁, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM₂, ещё через три секунды после этого – OM₃, и т. д., ещё через  N – 1  секунду после ОМ_N–2  – OM_N–1.
  При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
  а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
  б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся степенями двойки?

   Решение

Центр O описанной около треугольника ABC окружности отражается симметрично относительно каждой из сторон. По трём полученным точкам O₁, O₂, O₃ восстановить треугольник ABC, если все остальное стёрто.

   Решение

Темы:    [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно  

Решение

При любом таком маршруте число ходов вверх равно числу ходов вниз, а число ходов вправо равно числу ходов влево. Выпишем на один лист бумаги номера ходов, ведущих вправо или вверх, а на другой — номера ходов, ведущих влево или вверх. На каждом листе будет выписано ровно n номеров. По каждой паре таких наборов маршрут однозначно восстанавливается (например, если номер входит в оба набора, то ему соответствует ход вверх). Этот маршрут замкнутый, поскольку число ходов вправо равно числу ходов влево (оба они дополняют число ходов вверх до n), а число ходов вверх равно числу ходов вниз (вычитая из общего числа 2n ходов число ходов вправо, влево и вверх, мы, с одной стороны, получим число ходов вниз, а с другой стороны, – число ходов вверх). Итак, число маршрутов равно числу пар наборов из n номеров, то есть  

Источники и прецеденты использования