Задача 76476

Тема:    [ Построение треугольников по различным точкам ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Центр O описанной около треугольника ABC окружности отражается симметрично относительно каждой из сторон. По трём полученным точкам O₁, O₂, O₃ восстановить треугольник ABC, если все остальное стёрто.

Решение

Пусть точки O₁, O₂ и O₃ симметричны точке O относительно сторон BC, CA и AB соответственно. Пусть, далее, A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB. Тогда BC| B₁C₁| O₂O₃ и OA₁BC. Поэтому OO₁O₂O₃. Аналогично OO₂O₁O₃ и OO₃O₁O₂. Таким образом, O — точка пересечения высот треугольника O₁O₂O₃. Построив точку O, проводим серединные перпендикуляры к отрезкам OO₁, OO₂, OO₃. Эти прямые образуют треугольник ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	6
Год	1940
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	3