Разрежьте правильный треугольник шестью прямыми на части и сложите из них 7 одинаковых правильных треугольников.

   Решение

а) В выпуклом n-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на несколько многоугольников. Докажите, что у каждого из них не более n сторон.
б) Докажите, что если n чётно, то у каждого из полученных многоугольников не более n - 1 сторон.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Пусть O, O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников ABC, ABD и ACD.
Докажите, что OO₁ = OO₂.

Решение

  Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам АВ, АС и AL, тогда вершинами треугольника ОO₁O₂ являются точки их попарного пересечения (см. рис.).
  ∠ОO₁O₂ = ∠BAL  как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Аналогично  ∠ОO₂O₁ = ∠СAL = ∠BAL = ∠ОO₁O₂,  значит,
ОO₁ = ОO₂.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования