Условие
На плоскости даны три вектора
a,
b,
c, причем
a +
b +
c = 0. Докажите, что
эти векторы аффинным преобразованием можно перевести в векторы равной длины
тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами |
|, |
|,
|
| можно составить треугольник.
Решение
Предположим, что существует аффинное преобразование, переводящее
векторы
a,
b,
c в векторы
a',
b',
c' равной длины. Из равенства
a' +
b' +
c' = 0 следует, что из
отрезков длины |
|, |
|, |
| можно составить треугольник.
Предположим теперь, что из отрезков длины |
|, |
|, |
|
можно составить треугольник. Тогда
a' +
b' +
c' = 0 для некоторых
векторов
a',
b',
c'
единичной длины.
Рассмотрим аффинное преобразование, переводящее векторы
a и
b в
a' и
b'. Из равенств
a +
b +
c = 0 и
a' +
b' +
c' = 0 следует, что
рассматриваемое аффинное преобразование переводит вектор
c в
c' (предполагается, что
0).
Источники и прецеденты использования
